ΘΕΜΑ 4. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ςτο οποίο η εξωτερική του γωνία ˆΓ είναι διπλάςια τησ

Transcript

1 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, ςτο οποίο η εξωτερική του γωνία ˆΓ είναι διπλάςια τησ εςωτερικήσ του γωνίασ Â. Από την κορυφή Α διζρχεται ημιευθεία Ax // ΒΓ ςτο ημιεπίπεδο (ΑΒ, Γ). Στην ημιευθεία Ax θεωροφμε ςημείο Δ τζτοιο ώςτε ΑΔ=ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Η ΒΔ διζρχεται από το μζςο του τμήματοσ ΑΓ. (Μονάδεσ 7) β) Η ΓΔ είναι διχοτόμοσ τησ ˆΓ εξ. (Μονάδεσ 9) γ) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 9) 32

2 Δίνεται ιςόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα φψη του ΒΚ και ΓΛ, τα οποία τζμνονται ςτο Ι. Αν τα ςημεία Μ και Ν είναι τα μζςα των ΒΙ και ΓΙ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ιςοςκελζσ (Μονάδεσ 5) β) Τα τρίγωνα ΒΙΛ και ΓΙΚ είναι ίςα (Μονάδεσ 5) γ) Το ΑΙ προεκτεινόμενο διζρχεται από το μζςο τησ πλευράσ ΒΓ. (Μονάδεσ 5) δ) Το τετράπλευρο ΜΛΚΝ είναι ορθογϊνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 10)

3 Δίνεται το ιςόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναι εγγεγραμμζνο ςτον κφκλο με κζντρο Ο και ακτίνα ρ. Τα τμιματα ΓΖ και ΒΖ είναι τα εφαπτόμενα τμιματα του κφκλου ςτα ςθμεία Γ και Β αντίςτοιχα. Αν το τμιμα ΘΗ είναι κάκετο ςτο τμιμα ΑΖ ςτο Ζ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 7) β) Το τετράπλευρο ΑΓΖΒ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 8) γ) Το τετράπλευρο ΒΓΗΘ είναι τραπζηιο, με και 2. (Μονάδεσ 10)

4 Ζςτω ότι Ε και Η είναι τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίςτοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ επιπλζον ιςχφουν ΑΒ>ΑΔ και γωνία Α αμβλεία, να εξετάςετε αν είναι αληθείσ οι ακόλουθοι ιςχυριςμοί: Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο ΔΕΒΗ είναι παραλληλόγραμμο. Ισχυρισμός 2: Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΗ είναι ίςα. Ισχυρισμός 3: Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΗ είναι ιςοςκελή. α) Στην περίπτωςη που θεωρείτε ότι κάποιοσ ιςχυριςμόσ είναι αληθήσ να τον αποδείξετε. (Μονάδεσ 16) β) Στην περίπτωςη που κάποιοσ ιςχυριςμόσ δεν είναι αληθήσ, να βρείτε τη ςχζςη των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώςτε να είναι αληθήσ. Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 9)

5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε το ύψος του ΑΗ κατά τμήμα ΗΔ=ΑΗ και τη διάμεσό του ΑΜ κατά τμήμα ΜΕ=ΑΜ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ=ΒΔ=ΓΕ (Μονάδες 8) β) (Μονάδες 8) γ) Το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9)

6 Θεωροφμε ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( και το φψοσ του ΑΗ. Ζςτω Δ και Ε τα ςυμμετρικά ςημεία του Η ωσ προσ τισ ευθείεσ ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: I. ΑΗ=ΑΔ=ΑΕ. (Μονάδεσ 6) II. Η γωνία ΕΗΔ είναι ορθή. (Μονάδεσ 6) III. Τα ςημεία Ε, Α και Δ είναι ςυνευθειακά. (Μονάδεσ 6) β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΗΔ είναι ίςα; Αν ναι, να το αποδείξετε. Αν όχι, κάτω από ποιεσ αρχικζσ προχποθζςεισ θα μποροφςε να είναι ίςα; Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 7)

7 Δίνεται κύκλος (Ο, ρ) και σημείο Μ εξωτερικό του. Από το Μ φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΜΑ και ΜΒ του κύκλου και έστω ότι το σημείο Γ είναι το συμμετρικό του Ο ως προς την ευθεία ΜΒ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΜΒΟ είναι εγγράψιμο σε κύκλο. (Μονάδες 7) β) Να προσδιορίσετε το κέντρο Λ του περιγγεγραμμένου κύκλου του τετραπλεύρου ΑΜΒΟ και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9) γ) Να αποδείξετε ότι ΒΛ//ΜΓ. (Μονάδες 9)

8 Δίνεται κύκλος (Ο, R) και μια επίκεντρη γωνία του ΑΟΒ ίση με Οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία Α και Β τέμνονται στο σημείο Ρ. Θεωρούμε σημείο Μ του τόξου ΑΒ και φέρουμε τις χορδές ΑΜ και ΒΜ, οι οποίες προεκτεινόμενες τέμνουν τις ΡΒ και ΡΑ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΡΒ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 8) ο β) ΜΑΒ ˆ ΜΒΑ ˆ 60. (Μονάδες 8) γ) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΡΕΒ είναι ίσα. (Μονάδες 9)

9 Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε τη διαγώνιο ΒΔ (προσ το Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΔΒ. Ζςτω Μ το μζςο τησ ΑΔ και Ν το ςημείο τομήσ των ευθειών ΑΕ και ΓΔ. α) Να αποδείξετε ότι ΔΝ=ΔΜ. (Μονάδεσ 6) β) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγώνου ΝΜΔ. (Μονάδεσ 5) γ) Να αποδείξετε ότι: i. ΜΝ ΑΓ (Μονάδεσ 7) ii. ΓΜ ΑΝ (Μονάδεσ 7)

10 Δίνεται παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ και τθ γωνία Β αμβλεία. Από τθν κορυφι Α φζρουμε τθν ΑΕ κάκετθ ςτθν ευκεία ΒΓ και ζςτω Μ, Ν τα μζςα των ΑΒ, ΔΓ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΒΓΝ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 8) β) Το τετράπλευρο ΜΕΓΝ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 9) γ) Η ΕΝ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ. (Μονάδεσ 8)

11 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Από το μζςο Μ του ΒΓ φζρουμε ευκφγραμμο τμιμα ΜΔ ίςο και παράλλθλο με το ΒΑ και ευκφγραμμο τμιμα ΜΕ ίςο και παράλλθλο με το ΓΑ (τα ςθμεία Δ και Ε είναι ςτο θμιεπίπεδο που ορίηεται από τθ ΒΓ και το ςθμείο Α). Να αποδείξετε ότι: α) Τα ςθμεία Δ, Α, Ε είναι ςυνευκειακά. (Μονάδεσ 10) β) Η περίμετροσ του τριγώνου ΜΔΕ είναι ίςθ με τθν περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδεσ 9) γ) Όταν ζνασ κακθγθτισ ζκεςε ςτουσ μακθτζσ του το ερώτθμα αν τα ςθμεία Δ, Α, Ε είναι ςυνευκειακά, ζνασ από αυτοφσ ζκανε το παρακάτω ςχιμα και απάντθςε ωσ εξισ: 1 1 (εντόσ εναλλάξ των ΑΒ//ΜΔ που τζμνονται από ΑΖ) 2 (εντόσ εκτόσ και επί τα αυτά μζρθ των ΑΒ//ΜΔ που τζμνονται από ΔΕ) Όμωσ (άκροιςμα γωνιών του τριγώνου ΑΔΖ). Άρα ςφμφωνα με τα προθγοφμενα ζχουμε: Οπότε Δ,Ε,A ςυνευκειακά. Όμωσ ο κακθγθτισ είπε ότι υπάρχει λάκοσ ςτο ςυλλογιςμό. Μπορείτε να εντοπίςετε το λάκοσ του μακθτι; (Μονάδεσ 6)

12

13 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΔ και ΑΕ αντίςτοιχα η εςωτερική και η εξωτερική διχοτόμοσ τησ γωνίασ Α (Δ, Ε ςημεία τησ ευθείασ ΒΓ). Φζρουμε ΒΖ κάθετη ςτην ΑΔ και ΒΗ κάθετη ςτην ΑΕ και θεωροφμε Μ το μζςο του BΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΖΒΗ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 5) β) Η γωνία ΗΖΑ είναι ίςη με τη γωνία ΖΑΓ. (Μονάδεσ 6) γ) Η ευθεία ΗΖ διζρχεται από το Μ. (Μονάδεσ 6) δ). (Μονάδεσ 8) 2

14 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τυχαίο ςημείο Ε ςτην πλευρά ΔΓ. Φζρουμε τη διχοτόμο ΑΖ τησ γωνίασ ΕΑΒ και τη ΔΗ κάθετη από το Δ προσ την ΑΖ, η οποία τζμνει την ΑΕ ςτο Μ και την ΑΒ ςτο Ν. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΔΝ και ΑΒΖ είναι ίςα. (Μονάδεσ 8) β) ΑΜ=ΑΝ και ΔΕ=ΕΜ. (Μονάδεσ 10) γ) ΑΕ=ΔΕ+ΒΖ (Μονάδεσ 7)

15 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ε το μζςο τησ διαμζςου ΒΔ. Στην προζκταςη τησ ΑΕ θεωροφμε ςημείο Ζ τζτοιο ώςτε ΕΖ=ΑΕ και ζςτω Θ το ςημείο τομήσ τησ ΑΖ με την πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) β) Το τετράπλευρο ΒΔΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) γ) Το ςημείο Θ είναι βαρφκεντρο του τριγώνου ΒΔΖ. (Μονάδεσ 9)

16 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημεία Κ, Λ της διαγωνίου του ΒΔ, τέτοια ώστε να ισχύει ΒΚ=ΚΛ=ΛΔ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΚΓΛ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10) β) Να αποδείξετε ότι, αν το αρχικό παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος, τότε και το ΑΚΓΛ είναι ρόμβος. (Μονάδες 8) γ) Ποιά πρέπει να είναι η σχέση των διαγωνίων του αρχικού παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, ώστε το ΑΚΓΛ να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

17 Δίνεται παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ και ζςτω Ο το ςθμείο τομισ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ. Φζρνουμε τθν ΑΕ κάκετθ ςτθν διαγώνιο ΒΔ. Εάν Ζ είναι το ςυμμετρικό του Α ωσ προσ τθν διαγώνιο ΒΔ, τότε να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 7) β) ΖΓ = 2ΟΕ. (Μονάδεσ 9) γ) Το τετράπλευρο με κορυφζσ τα ςθμεία Β,Δ,Ζ και Γ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 9)

18 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με. Στην προέκταση της ΑΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε έτσι ώστε ΑΕ=ΑΓ. Στην πλευρά ΑΓ θεωρούμε σημείο Δ έτσι ώστε. Αν τα τμήματα ΔΕ και ΒΓ τέμνονται στο Κ και η προέκταση της ΑΚ τέμνει την ΕΓ στο Μ, να αποδείξετε ότι: α) β) (Μονάδες 6) (Μονάδες 7) γ) Η ΑΚ είναι διχοτόμος της γωνίας Α. (Μονάδες 6) δ) Η ΑΜ είναι μεσοκάθετος της ΕΓ. (Μονάδες 6)

19 Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Έστω σημείο Α εξωτερικό σημείο του κύκλου και τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ ώστε να ισχύει 60. Έστω ότι η εφαπτόμενη του κύκλου στο Δ τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΟΓ είναι εγγράψιμο με ΟΑ=2ΟΒ. (Μονάδες 6) β) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 6) γ) 2 (Μονάδες 7) δ) Το τετράπλευρο ΕΖΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 6)

20 Θζμα 4 Στο παρακάτω ςχιμα το ορκογώνιο ΕΖΗΘ παριςτάνει ζνα τραπζηι του μπιλιάρδου. Μια μπάλα του μπιλιάρδου ξεκινάει από ςθμείο Α τθσ μεςοκακζτου του τμιματοσ ΕΖ και χτυπώντασ διαδοχικά ςτουσ τοίχουσ ΕΘ, ΘΗ, ΗZ ςτα ςθμεία Β, Γ και Δ αντίςτοιχα, καταλιγει ςτο ςθμείο εκκίνθςθσ Α. Για τθ διαδρομι Α Β Γ Δ Α που ακολουκεί θ μπάλα ιςχφει ότι κάκε γωνία πρόςπτωςθσ ςε τοίχο (π.χ θ γωνία ΑΒΕ) είναι ίςθ με κάκε γωνία ανάκλαςθσ ςε τοίχο (π.χ θ γωνία ΘΒΓ) και θ κάκε μια απ αυτζσ είναι 45 ο. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΖΔ είναι ίςα. (Μονάδεσ 9) ii. Η διαδρομι ΑΒΓΔΑ τθσ μπάλασ ςχθματίηει τετράγωνο. (Μονάδεσ 8) β) Αν θ ΑΖ είναι διπλάςια από τθν απόςταςθ του Α από τον τοίχο ΕΖ, να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγώνου ΑΕΖ. (Μονάδεσ 8)

21 Σε παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ>ΒΓ και Β<90 κεωροφμε ςθμείο Ζ ςτθν προζκταςθ τθσ ΒΓ (προσ το Γ) τζτοιο ώςτε ΓΖ=ΒΓ. Αν Ε είναι ςθμείο τθσ ΑΒ, τζτοιο ώςτε ΕΓ=ΓΒ, να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία ΒΕΖ είναι ορκι. (Μονάδεσ 8) β) Το τετράπλευρο ΑΕΓΔ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 8) γ) Το τετράπλευρο ΑΓΖΔ είναι παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 9)

22 Θεωροφμε τρίγωνο ΑΒΓ και ζςτω Κ, Λ τα μζςα των ΑΒ, ΑΓ αντίςτοιχα. Φζρουμε τισ μεςοκαθζτουσ μ1, μ2 των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ αντίςτοιχα, οι οποίεσ τζμνονται ςτο μζςο Μ τησ ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ii. iii. 90. (Μονάδεσ 5) Το τετράπλευρο ΑΛΜΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο., όπου Θ το ςημείο τομήσ των ΑΜ και ΚΛ. 4 δ) Αν Ι ςημείο τησ ΒΓ τζτοιο ώςτε (Μονάδεσ 7) (Μονάδεσ 6), να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΘΙΒ 4 είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 7)

23 Δίνεται ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α 90 με ΒΔ διχοτόμο και ΑΚ φψοσ, που τζμνονται ςτο Ε. Η κάθετη από το Ε ςτην ΑΒ τζμνει τισ ΑΒ και ΒΓ ςτα Η και Ζ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. Tα τρίγωνα ΕΗΑ και ΕΚΖ είναι ίςα. (Μονάδεσ 6) ii. Tο τρίγωνο ΒΚΗ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 6) iii. Η ΒΔ είναι κάθετη ςτην ΑΖ (Μονάδεσ 7) β) Αν επιπλζον το ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι και ιςοςκελζσ, να αποδείξετε ότι η ΓΕ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ Γ. (Μονάδεσ 6)

24 Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο με ΑΒ<ΑΓ και Φζρνουμε τμήμα ΒΔ κάθετο ςτην ΑΒ και με και τμήμα ΓΕ κάθετο ςτην ΑΓ με. Θεωροφμε τα μζςα Ζ και Θ των ΑΔ και ΑΕ καθώσ και τη διχοτόμο Αδ τησ γωνία. α) Να αποδείξετε ότι. (Μονάδεσ 9) β) Αν Κ τυχαίο ςημείο τησ διχοτόμου Αδ, να αποδείξετε ότι το Κ ιςαπζχει από τα μζςα Ζ και Θ. (Μονάδεσ 9) γ) Αν το Κ είναι ςημείο τησ διχοτόμου Αδ τζτοιο ώςτε ΚΖ=ΑΖ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΖΚΘ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 7)

25 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και διάμετρο ΚΛ=2ρ. Έστω Α σημείο του κύκλου ώστε η ακτίνα ΟΑ να είναι κάθετη στην ΚΛ. Φέρουμε τις χορδές. Έστω Δ και Ε τα σημεία τομής των προεκτάσεων των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα με την ευθεία της διαμέτρου ΚΛ. Να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία ΒΑΓ είναι 120 ο. (Μονάδες 7) β) Τα σημεία Β και Γ είναι μέσα των ΑΔ και ΑΓ αντίστοιχα. (Μονάδες 9) γ). (Μονάδες 9)

26 Θεωροφμε ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), και την ευθεία ε τησ εξωτερικήσ διχοτόμου τησ γωνίασ Α. Θ κάθετη ςτην πλευρά ΑΒ ςτο Β τζμνει την ε ςτο Κ και την ευθεία ΑΓ ςτο Η. Θ κάθετη ςτην πλευρά ΑΓ ςτο Γ τζμνει την ε ςτο Λ και την ευθεία ΑΒ ςτο Ε. α) Να αποδείξετε ότι: i. AZ=AE (Μονάδεσ 8) ii. ΑΚ=ΑΛ (Μονάδεσ 9) β) Ζνασ μαθητήσ κοιτϊντασ το ςχήμα, διατφπωςε την άποψη ότι η ΑΘ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ Α του τριγϊνου ΑΒΓ, όπου Θ το ςημείο τομήσ των ΚΗ και ΕΛ. Συμφωνείτε με την παραπάνω ςκζψη του μαθητή ή όχι; Δικαιολογήςτε πλήρωσ την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 8)

27 Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΓΒ (ΑΓ=ΓΒ). Φζρουμε τα φψη του ΑΚ και ΓΛ. Αν Ε είναι το μζςο τησ πλευράσ ΑΓ, να αποδείξετε ότι: α) Tο τρίγωνο ΚΕΛ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 10) β) H ΚΛ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ΒΚΕ. (Μονάδεσ 15)

28 Ζςτω τρίγωνο ΑΒΓ και μ β, μ γ οι διάμεςοι του τριγώνου που αντιςτοιχοφν ςτισ πλευρζσ β και γ αντίςτοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταςη: Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ιςοςκελζσ με β = γ, τότε οι διάμεςοι μ β, μ γ είναι ίςεσ. α) Να εξετάςετε αν ιςχφει η πρόταςη Π, αιτιολογώντασ την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 10) β) Να διατυπώςετε την αντίςτροφη πρόταςη τησ Π και να εξετάςετε αν ιςχφει αιτιολογώντασ την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 10) γ) Στην περίπτωςη που οι δυο προτάςεισ, η Π και η αντίστροφή της ιςχφουν, να τισ διατυπώςετε ωσ ενιαία πρόταςη. (Μονάδεσ 5)